Question

Решите неравенство:

$$\log_{7}(2x^{2}+12)-\log_{7}(x^{2}-x+12)\geq\log_{7}\left(2-\frac{1}{x}\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для приведения к рациональному неравенству, найти область допустимых значений и решить методом интервалов.

Используя правило разности логарифмов:

$$\log_{7}\left(\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}ight)\geq\log_{7}\left(2-\frac{1}{x}ight)$$

Поскольку основание $7 > 1$, функция логарифма возрастает, поэтому неравенство равносильно:

$$\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}\geq 2-\frac{1}{x}$$

Определим область допустимых значений. Требуется:

$$\begin{cases}
2x^{2}+12 > 0 \
x^{2}-x+12 > 0 \
2-\frac{1}{x} > 0
\end{cases}$$

Первое условие: $2x^{2}+12 > 0$ выполнено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Второе условие: дискриминант $D = 1 - 48 = -47 < 0$, поэтому $x^{2}-x+12 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Третье условие: $2-\frac{1}{x} > 0 \Rightarrow \frac{2x-1}{x} > 0$, откуда $x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{2}; +\inftyight)$.

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12} - 2 + \frac{1}{x} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю $x(x^{2}-x+12)$:

$$\frac{x(2x^{2}+12) - 2x(x^{2}-x+12) + (x^{2}-x+12)}{x(x^{2}-x+12)} \geq 0$$

Упростим числитель:

$$2x^{3}+12x - 2x^{3}+2x^{2}-24x + x^{2}-x+12 = 3x^{2}-13x+12$$

Разложим квадратный трёхчлен: $3x^{2}-13x+12 = 3\left(x-\frac{4}{3}ight)(x-3)$.

Получаем:

$$\frac{3\left(x-\frac{4}{3}ight)(x-3)}{x(x^{2}-x+12)} \geq 0$$

Так как $x^{2}-x+12 > 0$ всегда, знак дроби определяется числителем и множителем $x$:

$$\frac{\left(x-\frac{4}{3}ight)(x-3)}{x} \geq 0$$

Применим метод интервалов. Критические точки: $x = 0$, $x = \frac{4}{3}$, $x = 3$.

На интервалах:
- $(-\infty; 0)$: знак $\frac{(-)(-))}{(-)} = -$ (не подходит)
- $(0; \frac{4}{3})$: знак $\frac{(-)(-)}{(+)} = +$ (подходит)
- $(\frac{4}{3}; 3)$: знак $\frac{(+)(-)}{(+)} = -$ (не подходит)
- $(3; +\infty)$: знак $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$ (подходит)

Граничные точки $x = \frac{4}{3}$ и $x = 3$ включаются (неравенство нестрогое).

Пересечём с областью допустимых значений $x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{2}; +\inftyight)$:

- Интервал $(0; \frac{4}{3}]$ пересекается с $\left(\frac{1}{2}; +\inftyight)$, давая $\left(\frac{1}{2}; \frac{4}{3}ight]$.
- Интервал $[3; +\infty)$ полностью содержится в $\left(\frac{1}{2}; +\inftyight)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике