Question

Решите неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}}(18 - 9x) < \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 6x + 5) + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифма для объединения правой части, затем использовать монотонность логарифма с основанием меньше единицы. **Область допустимых значений:** Требуется выполнение трёх условий: $$18 - 9x > 0 \Rightarrow x < 2$$ $$x^2 - 6x + 5 > 0$$ По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$, поэтому $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$. $$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$$ Пересечение всех условий даёт ОДЗ: $x \in (-2; 1)$. **Решение неравенства:** Объединим логарифмы на правой части: $$\log_{\frac{1}{3}}(18 - 9x) < \log_{\frac{1}{3}}\left[(x^2 - 6x + 5)(x + 2)\right]$$ Поскольку основание $\frac{1}{3} < 1$, функция логарифма строго убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $$18 - 9x > (x^2 - 6x + 5)(x + 2)$$ Раскроем скобки справа: $$(x^2 - 6x + 5)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 6x^2 - 12x + 5x + 10 = x^3 - 4x^2 - 7x + 10$$ Получаем: $$18 - 9x > x^3 - 4x^2 - 7x + 10$$ $$0 > x^3 - 4x^2 - 7x + 10 - 18 + 9x$$ $$x^3 - 4x^2 + 2x - 8 < 0$$ Разложим левую часть, группируя слагаемые: $$x^2(x - 4) + 2(x - 4) < 0$$ $$(x - 4)(x^2 + 2) < 0$$ Так как $x^2 + 2 > 0$ для всех $x$, делим обе части на этот множитель: $$x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4$$ Пересекаем с ОДЗ $(-2; 1)$: $$x \in (-2; 1)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике