Question

а) Решите уравнение $49^{\sin x}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: привести обе части к одному основанию, приравнять показатели и решить полученное уравнение через разложение на множители.

**а)** Представим обе части через степени числа 7:

$$49^{\sin x} = 7^{2\sin x}$$

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x} = 7^{\sqrt{2}\sin 2x}$$

Приравняем показатели:

$$2\sin x = \sqrt{2}\sin 2x$$

Подставим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin x = \sqrt{2} \cdot 2\sin x \cos x$$

$$2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x \cos x = 0$$

$$2\sin x(1 - \sqrt{2}\cos x) = 0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $1 - \sqrt{2}\cos x = 0$

$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни на отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

Из семейства $x = \pi n$:
- При $n = 2$: $x = 2\pi$ ✓
- При $n = 3$: $x = 3\pi$ ✓

Из семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ ✓

Из семейства $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (не входит в отрезок)
- При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$ (не входит в отрезок)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике