Question

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30°$ , $AB = \sqrt{2}$ , $CC_1 = 2$ .

а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45°$ .

б) Найдите объём цилиндра.

а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45°$.

б) Найдите объём цилиндра.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить образующую $BB_1$ и применить теорему о трёх перпендикулярах, затем использовать свойства прямоугольного треугольника для вычисления необходимых отрезков.

**а) Доказательство**

1) Проведём образующую $BB_1$ верхнего основания.

2) Поскольку $AC$ — диаметр основания, по теореме Фалеса имеем $\angle ABC = 90°$.

3) Так как $BB_1$ — образующая, то $AB \perp BB_1$ и $BB_1 \perp B_1C_1$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $AB_1 \perp B_1C_1$.

4) Из условия $\angle ACB = 30°$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ находим:

$$AB = \frac{AC}{2}$$

$$AC = 2\sqrt{2}$$

$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6}$$

Поскольку $B_1C_1$ — проекция $BC$ на верхнее основание, имеем $B_1C_1 = BC = \sqrt{6}$.

5) В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ по теореме Пифагора:

$$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

6) В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1$ (где $\angle AB_1C_1 = 90°$) по теореме Пифагора:

$$AB_1 = \sqrt{AC_1^2 - B_1C_1^2} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$$

7) Треугольник $AB_1C_1$ равнобедренный и прямоугольный ($AB_1 = B_1C_1 = \sqrt{6}$), поэтому:

$$\angle AC_1B_1 = \angle B_1AC_1 = 45°$$

Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен углу между $AC_1$ и $B_1C_1$ (так как $BC \parallel B_1C_1$), то есть $\angle AC_1B_1 = 45°$. Что и требовалось доказать.

**б) Вычисление объёма**

8) Радиус основания цилиндра:

$$r = \frac{AC}{2} = \sqrt{2}$$

9) Площадь основания:

$$S = \pi r^2 = \pi \cdot 2 = 2\pi$$

10) Объём цилиндра:

$$V = CC_1 \cdot S = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/mzYIC5zGMgk0pZjNDol0YfH0BAfepMZbp7lSMPcw.png)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике