Question

Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(8x) - 8x + 7$ на отрезке $\left[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}\right]$.

Accepted Answer

6

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную, проверить её принадлежность отрезку и вычислить значение функции в этой точке.

Вычислим производную:

$$y' = \frac{8}{8x} - 8 = \frac{1}{x} - 8$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{x} - 8 = 0$$

$$\frac{1}{x} = 8$$

$$x = \frac{1}{8}$$

Проверим, что $x = \frac{1}{8}$ принадлежит отрезку $\left[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}\right]$: действительно, $\frac{1}{16} < \frac{1}{8} < \frac{5}{16}$.

По диаграмме знаков (см. изображение) производная положительна слева от $x = \frac{1}{8}$ и отрицательна справа, поэтому $x = \frac{1}{8}$ — точка максимума функции на данном отрезке.

Вычислим значение в точке максимума:

$$y\left(\frac{1}{8}\right) = \ln\left(8 \cdot \frac{1}{8}\right) - 8 \cdot \frac{1}{8} + 7 = \ln(1) - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике