Question

Решите неравенство:

$$\frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2x}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель на множители через группировку, применить метод рационализации для показательных выражений и решить методом интервалов.

Преобразуем числитель, используя свойства степеней:

$$\frac{(3 \cdot 5)^{x}-3 \cdot 3^{x}-5 \cdot 5^{x}+15}{-x^{2}+2x}\geq0$$

$$\frac{3^{x} \cdot 5^{x}-3 \cdot 3^{x}-5 \cdot 5^{x}+15}{-x^{2}+2x}\geq0$$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$$\frac{3^{x}(5^{x}-3)-5(5^{x}-3)}{-x^{2}+2x}\geq0$$

$$\frac{(5^{x}-3)(3^{x}-5)}{-x^{2}+2x}\geq0$$

Применим метод рационализации. Заметим, что $5^{x}-3 = 5^{x}-5^{\log_{5}3}$ и $3^{x}-5 = 3^{x}-3^{\log_{3}5}$. По методу рационализации для выражений вида $a^{f(x)}-a^{g(x)}$ имеем:

$$\frac{(5-1)(x-\log_{5}3)(3-1)(x-\log_{3}5)}{-x(x-2)}\leq0$$

$$\frac{4 \cdot 2 \cdot (x-\log_{5}3)(x-\log_{3}5)}{-x(x-2)}\leq0$$

$$\frac{(x-\log_{5}3)(x-\log_{3}5)}{-x(x-2)}\leq0$$

$$\frac{(x-\log_{5}3)(x-\log_{3}5)}{x(x-2)}\geq0$$

Определим расположение критических точек. Поскольку $\log_{5}3 \approx 0{,}68$ и $\log_{3}5 \approx 1{,}47$, имеем порядок: $0 < \log_{5}3 < \log_{3}5 < 2$.

Применяя метод интервалов:

$$x \in (0; \log_{5}3] \cup [\log_{3}5; 2)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике