Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x + \cos x + 2\sqrt{2}\sin^2 x = 2\sqrt{2}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем основное тригонометрическое тождество для замены синуса на косинус, затем раскладываем полученное уравнение на множители.

**а)**

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$2\cos^3 x + \cos x + 2\sqrt{2}(1 - \cos^2 x) = 2\sqrt{2}$$

Раскроем скобки:

$$2\cos^3 x + \cos x + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cos^2 x = 2\sqrt{2}$$

Упростим:

$$2\cos^3 x - 2\sqrt{2}\cos^2 x + \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x(2\cos^2 x - 2\sqrt{2}\cos x + 1) = 0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\cos^2 x - 2\sqrt{2}\cos x + 1 = 0$

Обозначим $t = \cos x$:

$$2t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 - 8 = 0$$

Единственный корень:

$$t = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б)**

Отберём корни из полученных семейств, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}ight]$.

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

При $n = -9$: $x = \frac{\pi}{2} - 9\pi = -\frac{17\pi}{2}$ (не входит в отрезок)

При $n = -8$: $x = \frac{\pi}{2} - 8\pi = -\frac{15\pi}{2}$ (не входит в отрезок)

При $n = -7$: $x = \frac{\pi}{2} - 7\pi = -\frac{13\pi}{2}$ (не входит в отрезок)

При $n = -5$: $x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$ (не входит в отрезок)

При $n = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (входит в отрезок)

Из семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ (входит в отрезок)

Из семейства $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ (не входит в отрезок)

При $n = -2$: $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$ (не входит в отрезок)

Проверим граничные точки отрезка:

$x = -4\pi$: $\cos(-4\pi) = 1 
eq 0$ и $\cos(-4\pi) 
eq \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\frac{5\pi}{2}$: $\cos\left(-\frac{5\pi}{2}ight) = 0$, поэтому $x = -\frac{5\pi}{2}$ — корень.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике