Question

а) Решите уравнение $\cos x\left( 2\cos^{2}\frac{x}{2}–1 \right)=\cos(x+\pi)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{\pi}{2};2\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить левую и правую части уравнения, используя формулы двойного угла и косинуса суммы, затем решить полученное уравнение.

**а) Решение уравнения**

Упростим выражение $2\cos^{2}\frac{x}{2}–1$:

$$2\cos^{2}\frac{x}{2}–1 = 2\cos^{2}\frac{x}{2}–\left(\cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}\right) = \cos^{2}\frac{x}{2}–\sin^{2}\frac{x}{2} = \cos x$$

Упростим правую часть, применив формулу косинуса суммы:

$$\cos(x+\pi) = \cos x \cos \pi - \sin x \sin \pi = -\cos x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$\cos x \cdot \cos x = -\cos x$$

$$\cos^{2}x + \cos x = 0$$

$$\cos x(\cos x + 1) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Используя числовую окружность, выберем корни из отрезка $\left[ \frac{\pi}{2};2\pi \right]$:

Из первого семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
- при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ ✓
- при $k = 1$: $x = \frac{3\pi}{2}$ ✓

Из второго семейства $x = \pi + 2\pi k$:
- при $k = 0$: $x = \pi$ ✓

Задание №13УравненияЕГЭ по математике