Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 14x^2 + 49x + 8$.

Accepted Answer

-7

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 28x + 49$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 + 28x + 49 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 784 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 196$$ Корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-28 \pm 14}{6}$$ $$x_1 = -7, \quad x_2 = -\frac{7}{3}$$ Применим метод интервалов для анализа знака производной. На числовой оси отметим критические точки $-7$ и $-\frac{7}{3}$: - При $x < -7$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $-7 < x < -\frac{7}{3}$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > -\frac{7}{3}$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = -7$ — точка максимума, $x = -\frac{7}{3}$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике