Question

а) Решите уравнение $4\sin^3 x = 3\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить правую часть, используя формулу приведения, затем разложить полученное уравнение на множители и применить формулы для синуса.

**а)**

Применим формулу приведения: $\cos\left(x - \frac{\pi}{2}ight) = \sin x$.

Уравнение принимает вид:

$$4\sin^3 x = 3\sin x$$

Перенесём все в левую часть:

$$4\sin^3 x - 3\sin x = 0$$

Вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sin x(4\sin^2 x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\left[\begin{array}{l} \sin x = 0 \ 4\sin^2 x - 3 = 0 \end{array}ight. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = 0 \ \sin^2 x = \frac{3}{4} \end{array}ight. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = 0 \ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}ight.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\left[\begin{array}{l} x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \end{array}ight.$$

Все эти решения можно объединить в одну формулу:

$$x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)**

Отберём корни из отрезка $\left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}ight]$ с помощью двойного неравенства:

$$\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi k}{3} \leq \frac{9\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$ и умножим на 3:

$$\frac{21}{2} \leq k \leq \frac{27}{2}$$

$$10{,}5 \leq k \leq 13{,}5$$

Целые значения: $k = 11, 12, 13$.

При $k = 11$: $x = \frac{11\pi}{3}$.

При $k = 12$: $x = \frac{12\pi}{3} = 4\pi$.

При $k = 13$: $x = \frac{13\pi}{3}$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике