Question

Решите неравенство:

$$\log_{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)+\log_{3}\left(\frac{1}{x}+1\right)\leq\log_{3}(8x+1)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область допустимых значений, применить монотонность логарифма и решить полученное рациональное неравенство.

**Область допустимых значений:**

Требуются условия:

$$\frac{1}{x}-1>0, \quad \frac{1}{x}+1>0, \quad 8x+1>0$$

Преобразуем первое условие:

$$\frac{1-x}{x}>0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$$

Второе условие:

$$\frac{1+x}{x}>0 \implies x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$

Третье условие:

$$x > -\frac{1}{8}$$

Пересечение всех трёх даёт:

$$	ext{ОДЗ}: \left(\frac{1}{8}; 1ight)$$

**Решение неравенства:**

Используя свойство логарифма произведения:

$$\log_{3}\left(\left(\frac{1}{x}-1ight)\left(\frac{1}{x}+1ight)ight)\leq\log_{3}(8x+1)$$

$$\log_{3}\left(\frac{1}{x^2}-1ight)\leq\log_{3}(8x+1)$$

Поскольку логарифм с основанием $3 > 1$ — возрастающая функция:

$$\frac{1}{x^2}-1\leq 8x+1$$

$$\frac{1}{x^2}-8x-2\leq 0$$

$$\frac{1-8x^3-2x^2}{x^2}\leq 0$$

Преобразуем числитель. Заметим, что $1-8x^3 = (1-2x)(1+2x+4x^2)$:

$$\frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)-2x^2}{x^2}\leq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$1+2x+4x^2-2x-4x^3-2x^2 = 1+2x^2-4x^3$$

Перепишем:

$$\frac{1-8x^3-2x^2}{x^2}\leq 0$$

Заметим, что дискриминант трёхчлена $4x^2+2x+1$ отрицателен, поэтому $4x^2+2x+1>0$ для всех $x$. Следовательно:

$$\frac{1-2x}{x^2}\leq 0$$

Так как $x^2>0$ на ОДЗ, получаем:

$$1-2x\leq 0 \implies x\geq\frac{1}{2}$$

Пересекаем с ОДЗ:

$$\left(\frac{1}{8}; 1ight) \cap \left[\frac{1}{2}; +\inftyight) = \left[\frac{1}{2}; 1ight)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике