Question

Вычислите значение выражения $\sqrt{108}\cos^2\frac{\pi}{12}-\sqrt{27}$.

Accepted Answer

4,5

Answer

Идея решения: разложить подкоренные выражения, применить формулу косинуса двойного угла и упростить.

Представим корни через общий множитель:

$$\sqrt{108}\cos^2\frac{\pi}{12}-\sqrt{27}=\sqrt{27}\cdot\sqrt{4}\cos^2\frac{\pi}{12}-\sqrt{27}$$

$$=\sqrt{27}\left(2\cos^2\frac{\pi}{12}-1\right)$$

$$=3\sqrt{3}\left(2\cos^2\frac{\pi}{12}-1\right)$$

Выражение в скобках — это косинус двойного угла:

$$2\cos^2\frac{\pi}{12}-1=\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем:

$$3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике