Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение 
$$a\left(x+\frac{9}{x}\right)^{2}-2\left(x+\frac{9}{x}\right)-49a+14=0$$
имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = x + \frac{9}{x}$, найдём множество допустимых значений $t$, затем определим, при каких $a$ квадратное уравнение относительно $t$ даёт ровно два различных корня исходного уравнения. **Шаг 1. Замена переменной и область значений** Обозначим $t = x + \frac{9}{x}$. Исходное уравнение принимает вид: $$at^{2} - 2t - 49a + 14 = 0$$ Найдём множество значений функции $t(x) = x + \frac{9}{x}$. При $x > 0$ по неравенству о среднем арифметическом и геометрическом: $$t = x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$$ Равенство достигается при $x = 3$. При $x < 0$ имеем $t = x + \frac{9}{x} \leq -6$, равенство при $x = -3$. Таким образом, область значений: $t \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$. **Шаг 2. Связь между корнями $t$ и корнями $x$** Уравнение $t = x + \frac{9}{x}$ равносильно $x^{2} - tx + 9 = 0$. Дискриминант: $D = t^{2} - 36$. - Если $|t| > 6$, то $D > 0$ — два различных корня по $x$. - Если $|t| = 6$, то $D = 0$ — один корень по $x$. - Если $|t| < 6$, то $D < 0$ — нет корней по $x$. **Шаг 3. Решение квадратного уравнения относительно $t$** При $a = 0$: $-2t + 14 = 0 \Rightarrow t = 7 \in [6; +\infty)$. Это даёт два различных корня по $x$. При $a eq 0$: $$D_{t} = 4 - 4a(-49a + 14) = 4 + 196a^{2} - 56a = 4(49a^{2} - 14a + 1) = 4(7a - 1)^{2}$$ $$t_{1,2} = \frac{2 \pm 2|7a - 1|}{2a} = \frac{1 \pm |7a - 1|}{a}$$ **Шаг 4. Явный вид корней** При $7a - 1 \geq 0$ (т.е. $a \geq \frac{1}{7}$): $$t_{1} = \frac{1 + 7a - 1}{a} = 7, \quad t_{2} = \frac{1 - 7a + 1}{a} = \frac{2 - 7a}{a}$$ При $7a - 1 < 0$ (т.е. $a < \frac{1}{7}$): $$t_{1} = \frac{1 - 7a + 1}{a} = \frac{2 - 7a}{a}, \quad t_{2} = \frac{1 + 7a - 1}{a} = 7$$ В обоих случаях один корень всегда равен $t = 7 \in [6; +\infty)$, что даёт два различных корня по $x$. **Шаг 5. Условие на второй корень** Обозначим $t_{2} = \frac{2 - 7a}{a}$. Для ровно двух корней по $x$ нужно, чтобы либо $|t_{2}| > 6$, либо $t_{2} = 7$ (но тогда оба корня совпадают, что даёт один корень). Условие $t_{2} = 7$: $$\frac{2 - 7a}{a} = 7 \Rightarrow 2 - 7a = 7a \Rightarrow a = \frac{1}{7}$$ При $a = \frac{1}{7}$ оба корня по $t$ совпадают: $t = 7$, что даёт два корня по $x$. **Шаг 6. Условие $|t_{2}| > 6$** При $a > 0$: $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6 \Rightarrow 2 - 7a \geq 6a \Rightarrow a \leq \frac{2}{13}$. $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6 \Rightarrow 2 - 7a \leq -6a \Rightarrow a \geq 2$. Итак, при $a > 0$ условие $|t_{2}| > 6$ выполнено при $a \in (0; \frac{2}{13}] \cup [2; +\infty)$. При $a < 0$: $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6$ (неравенство меняет знак): $2 - 7a \leq 6a \Rightarrow a \geq \frac{2}{13}$ — нет решений при $a < 0$. $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6$ (неравенство меняет знак): $2 - 7a \geq -6a \Rightarrow a \leq 2$ — выполнено для всех $a < 0$. **Шаг 7. Исключение случаев с одним корнем** Условие $-6 < t_{2} < 6$ (один корень по $x$): При $a > 0$: $\frac{2}{13} < a < 2$. При $a < 0$: никогда не выполнено. **Итоговый ответ** Уравнение имеет ровно два различных решения при: $$a \in (-\infty; 0) \cup \left(0; \frac{2}{13} ight] \cup \left\{\frac{1}{7} ight\} \cup [2; +\infty)$$ Упрощая: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{2}{13}] \cup [2; +\infty)$ (так как $\frac{1}{7} \in (0; \frac{2}{13}]$).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике