Question

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD = 15$ и $AC = 2\sqrt{61}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства равнобедренной трапеции и конгруэнтность треугольников, образованных высотами, а также подобие треугольников, возникающих при пересечении высоты и диагонали.

**а) Доказательство**

Проведём вторую высоту $BM$ из вершины $B$ на основание $AD$.

Четырёхугольник $BCHM$ является прямоугольником, поэтому:
$$BC = MH$$

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $HCD$. Они равны по гипотенузе и катету:
- $AB = CD$ (боковые стороны равнобедренной трапеции);
- высоты $BM$ и $CH$ равны.

Из равенства треугольников получаем:
$$AM = HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{3BC - BC}{2} = BC$$

Следовательно:
$$AH = AM + MH = BC + BC = 2BC$$
$$DH = BC$$

Таким образом, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH = 2BC$ и $DH = BC$, где один вдвое больше другого. ∎

**б) Нахождение расстояния**

В равнобедренной трапеции диагонали равны:
$$AC = BD = 2\sqrt{61}$$

Из условия $AD = 3BC$ и $AD = 15$ находим:
$$BC = 5$$

Из пункта а) известно, что $HD = BC = 5$.

Обозначим точку пересечения высоты $CH$ и диагонали $BD$ как $Q$.

Треугольники $HQD$ и $QBC$ равны по катету и острому углу:
- $HD = BC = 5$;
- $\angle QDH = \angle QBC$ (накрест лежащие углы при параллельных основаниях).

Из равенства треугольников следует:
$$QB = QD$$

Это означает, что $Q$ — середина диагонали $BD$, и $CQ$ — искомое расстояние.

Вычислим:
$$BQ = \frac{BD}{2} = \frac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}$$

В прямоугольном треугольнике $BCQ$ (прямой угол при $H$, так как $CH \perp AD$) по теореме Пифагора:
$$CQ = \sqrt{BQ^2 - BC^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/skSXpGL2OB662ZQIYEJYuILuWcj31dXH0Ud4Nbd2.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/V8CbBqdqdmxhnIcPfDCJJGRTHQowqkpW9zUSIqWx.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике