Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} x^{2}+y^{2}=6x+8y-9 \ x^{2}+y^{2}=a^{2} \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: привести первое уравнение к стандартному виду окружности, затем найти условие на расстояние между центрами двух окружностей, при котором они пересекаются ровно в двух точках.

Преобразуем первое уравнение, выделив полные квадраты:

$$x^{2}-6x+y^{2}-8y=-9$$

$$x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=16+9-9$$

$$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$$

Система принимает вид:

$$\left\{ \begin{array}{c} (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16 \ x^{2}+y^{2}=a^{2} \end{array} ight.$$

Первое уравнение — окружность с центром $O_1 = (3; 4)$ и радиусом $r_1 = 4$.

Второе уравнение — окружность с центром $O_2 = (0; 0)$ и радиусом $r_2 = |a|$.

Расстояние между центрами:

$$d = \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$$

Две окружности имеют ровно две точки пересечения, когда они пересекаются трансверсально. Это происходит при условии:

$$|r_2 - r_1| < d < r_2 + r_1$$

Подставляем значения:

$$||a| - 4| < 5 < |a| + 4$$

Из второго неравенства:

$$5 < |a| + 4 \Rightarrow |a| > 1$$

Это даёт $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Из первого неравенства:

$$||a| - 4| < 5$$

$$-5 < |a| - 4 < 5$$

$$-1 < |a| < 9$$

Поскольку $|a| \geq 0$, получаем $|a| < 9$, то есть $a \in (-9; 9)$.

Пересекая оба условия:

$$\left((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)ight) \cap (-9; 9) = (-9; -1) \cup (1; 9)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике