Question

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.

а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.

б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $MB_1KD$ равна 6.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем равенство сторон ромба и свойства правильной призмы для доказательства, затем применяем формулу проекции и тригонометрию.

**а) Доказательство**

Рассмотрим треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$.

Поскольку $MB_1KD$ — ромб, имеем $B_1M = MD$.

В правильной призме основание — квадрат, поэтому $AD = A_1B_1$.

Правильная призма является прямой, следовательно, боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Это означает, что $\angle DAM = \angle A_1MB_1 = 90°$.

Таким образом, оба треугольника прямоугольные с равными катетами ($AD = A_1B_1$) и равными гипотенузами ($B_1M = MD$). По признаку равенства прямоугольных треугольников они равны.

Из равенства треугольников следует $AM = A_1M$, откуда $M$ — середина $AA_1$. ✓

**б) Нахождение высоты**

Применим формулу проекции: площадь проекции фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между ними.

Ромб $MB_1KD$ проецируется на основание в квадрат $ABCD$. Следовательно:

$$\cos \alpha = \frac{S_{	ext{ABCD}}}{S_{MB_1KD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Отсюда $\alpha = 60°$.

Рассмотрим треугольник $B_1BD$. Диагональ квадрата основания:

$$BD = \sqrt{2 \cdot S_{	ext{ABCD}}} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$$

В прямоугольном треугольнике $B_1BD$ (где $\angle B_1BD = 60°$):

$$	an 60° = \frac{BB_1}{BD}$$

$$\sqrt{3} = \frac{BB_1}{\sqrt{6}}$$

$$BB_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике