Question

На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC = 2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойства параллельности сторон квадрата и их связь с рёбрами тетраэдра, установить перпендикулярность скрещивающихся прямых, а затем вычислить расстояние через объём вспомогательного тетраэдра.

**а) Доказательство перпендикулярности $AB$ и $CD$**

Поскольку $KLMN$ — квадрат, имеем $KN \parallel LM$. Это означает, что $LM \parallel (ABC)$.

Прямые $LM$ и $AB$ лежат в плоскости $ABD$ и не пересекаются, следовательно, $LM \parallel AB$. Таким образом, $KN$, $LM$ и $AB$ попарно параллельны.

Аналогично, $KL \parallel MN$, откуда $KL \parallel (BCD)$. Прямые $KL$ и $CD$ лежат в плоскости $ACD$ и не имеют общих точек, поэтому $KL \parallel CD$. Значит, $KL$, $MN$ и $CD$ попарно параллельны.

Так как $KLMN$ — квадрат, то $KL \perp LM$. Из параллельности получаем $CD \perp AB$.

**б) Вычисление расстояния**

Расстояние от точки $B$ до плоскости $KLM$ равно высоте тетраэдра $BKMN$, опущенной из вершины $B$ на основание $KMN$.

Площадь прямоугольного треугольника $KMN$:

$$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$$

Расстояние выражается через объём:

$$d(B, KMN) = \frac{3V_{BKMN}}{S_{KMN}}$$

Найдём объём тетраэдра $BKMN$. Пусть $AH$ — высота тетраэдра $ABCD$ из вершины $A$, а $KH_1$ — высота тетраэдра $KBMN$ из вершины $K$.

Высота $KH_1 = \frac{3}{5}AH$ (так как $K$ делит $AC$ в отношении $2:3$, расстояние от $K$ до плоскости $BCD$ составляет $\frac{3}{5}$ от расстояния от $A$).

Площадь треугольника $BMN$ составляет $\frac{4}{25}$ от площади треугольника $BCD$ (это следует из расположения точек $M$ и $N$ на рёбрах).

Объём тетраэдра $KBMN$:

$$V_{KBMN} = \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{BMN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}AH \cdot \frac{4}{25}S_{BCD}$$

$$V_{KBMN} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot V_{ABCD} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot 25 = \frac{12}{5}$$

Подставляем найденные значения:

$$d(B, KMN) = \frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике