Question

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M = 2AM$ и $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны 20.

Accepted Answer

Answer

**а) Доказательство**

Идея решения: показать, что $KC_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, откуда следует, что $C_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ — правильная призма, её основания представляют собой правильные треугольники.

Точка $K$ является серединой отрезка $A_1B_1$ (так как $A_1K = KB_1$). В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $KC_1$ — это медиана из вершины $C_1$ к стороне $A_1B_1$. В правильном треугольнике медиана совпадает с высотой, поэтому:

$$KC_1 \perp A_1B_1$$

Боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, следовательно:

$$KC_1 \perp AA_1$$

Таким образом, $KC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $ABB_1A_1$ (прямым $A_1B_1$ и $AA_1$), поэтому:

$$KC_1 \perp (ABB_1A_1)$$

Это означает, что $KC_1$ лежит в плоскости $\alpha$, перпендикулярной $(ABB_1A_1)$ и проходящей через $M$ и $K$. Следовательно, $C_1 \in \alpha$.

**б) Вычисление площади сечения**

Сечение — это треугольник $MKC_1$. Поскольку $KC_1 \perp (ABB_1A_1)$ и $M, K \in (ABB_1A_1)$, имеем $KC_1 \perp MK$. Таким образом, треугольник $MKC_1$ прямоугольный с прямым углом при $K$:

$$S_{MKC_1} = \frac{1}{2} \cdot KC_1 \cdot MK$$

**Вычисление $MK$:**

Из условия $A_1M = 2AM$ и $AA_1 = AM + A_1M$:

$$AA_1 = AM + 2AM = 3AM$$

$$AM = \frac{20}{3}, \quad A_1M = \frac{40}{3}$$

Также $A_1K = \frac{1}{2}A_1B_1 = 10$.

В прямоугольном треугольнике $MA_1K$ (угол при $A_1$ прямой):

$$MK^2 = MA_1^2 + A_1K^2 = \left(\frac{40}{3}\right)^2 + 10^2 = \frac{1600}{9} + 100 = \frac{1600 + 900}{9} = \frac{2500}{9}$$

$$MK = \frac{50}{3}$$

**Вычисление $KC_1$:**

В прямоугольном треугольнике $A_1KC_1$ (угол при $K$ прямой, так как $KC_1 \perp A_1B_1$):

$$KC_1^2 = A_1C_1^2 - A_1K^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$$

$$KC_1 = 10\sqrt{3}$$

**Площадь сечения:**

$$S_{MKC_1} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{50}{3} = \frac{500\sqrt{3}}{6} = \frac{250\sqrt{3}}{3}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике