Question

В трапеции $ABCD$ угол $\angle BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.

а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = \sqrt{10}$, а $BC = 2BM$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанного четырёхугольника и подобие треугольников для связи углов и нахождения площади.

**а) Доказательство**

Четырёхугольник $MCDA$ вписан в окружность (все его вершины лежат на окружности с диаметром $AD$), поэтому он равнобедренный. Следовательно, $AM = CD$, откуда углы, опирающиеся на эти равные хорды, равны:

$$\angle MDA = \angle CAD$$

Углы $\angle MDA$ и $\angle DMC$ равны как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции:

$$\angle MDA = \angle DMC$$

Поскольку $AD$ — диаметр окружности, угол $\angle AMD$ опирается на диаметр:

$$\angle AMD = 90°$$

В треугольнике $ABM$ имеем:

$$\angle BMA = 180° - 90° - \angle DMC = 90° - \angle CAD$$

Тогда в треугольнике $ABM$:

$$\angle BAM = 180° - 90° - (90° - \angle CAD) = \angle CAD$$

Что и требовалось доказать.

**б) Нахождение площади**

Обозначим $BM = x$, тогда $BC = 2x$.

Треугольники $ABM$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BAM = \angle CAD$ и углы при основаниях совпадают). Из подобия:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{AB}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{2x} = \frac{x}{\sqrt{10}}$$

$$2x^2 = 10$$

$$x = \sqrt{5}$$

Следовательно, $BC = 2\sqrt{5}$.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам (вертикальные углы при $O$, углы при основаниях трапеции). Коэффициент подобия:

$$\frac{AD}{BC} = \frac{BM + MC}{BC} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{2}$$

Поэтому:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{3}{2}$$

Площадь треугольника $ABC$:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} = 5\sqrt{2}$$

Площадь треугольника $AOB$ составляет часть площади $ABC$, пропорциональную отношению $\frac{AO}{AC}$:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$$

$$S_{AOB} = S_{ABC} \cdot \frac{AO}{AC} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{3}{5} = 3\sqrt{2}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/KcxFHYDFEDMWfsidouoDMLf57LObGLuxg0p4Xz8I.png)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/yqVRyt3eVWHx6U2tMNzhuue4gaREbFvfWTX1ycVv.png)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике