Question

Решите неравенство $\log_3^2(25-x^2)-3\log_3(25-x^2)+2\geq0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения неравенства к квадратному, затем вернуться к исходной переменной с учётом области определения.

Найдём область определения. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$25-x^2>0$$

$$(5-x)(5+x)>0$$

$$x\in(-5;5)$$

Введём замену $t=\log_3(25-x^2)$. Неравенство принимает вид:

$$t^2-3t+2\geq0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$t_1=1, \quad t_2=2$$

Решаем квадратное неравенство:

$$t\leq1 \quad 	ext{или} \quad t\geq2$$

Возвращаемся к исходной переменной.

**Случай 1:** $\log_3(25-x^2)\leq1$

$$25-x^2\leq3$$

$$x^2\geq22$$

$$x\in(-\infty;-\sqrt{22}]\cup[\sqrt{22};+\infty)$$

**Случай 2:** $\log_3(25-x^2)\geq2$

$$25-x^2\geq9$$

$$x^2\leq16$$

$$x\in[-4;4]$$

Объединяем оба случая:

$$x\in[-4;-\sqrt{22}]\cup[\sqrt{22};4]$$

Пересекаем с областью определения $x\in(-5;5)$:

$$x\in[-4;-\sqrt{22}]\cup[\sqrt{22};4]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике