Question

Треугольник $ABC$ остроугольный. Высоты $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle BAH = \angle BB_1C_1$.

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$, если $C_1B_1 = 18$ и $\angle BAC = 30°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: четырёхугольник $AC_1HB_1$ вписан в окружность с диаметром $AH$, что позволяет связать требуемые углы через вписанные углы.

**а) Доказательство**

Поскольку $BB_1$ и $CC_1$ — высоты, углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ прямые. Это означает, что точки $A$, $C_1$, $H$, $B_1$ лежат на окружности, диаметром которой служит отрезок $AH$.

На этой окружности углы $\angle C_1AH$ и $\angle C_1B_1H$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $C_1H$. Следовательно, они равны:

$$\angle C_1AH = \angle C_1B_1H$$

Поскольку $\angle BAH = \angle C_1AH$ и $\angle BB_1C_1 = \angle C_1B_1H$, получаем:

$$\angle BAH = \angle BB_1C_1$$

**б) Вычисление расстояния**

Обозначим $O$ центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ — середину стороны $BC$. Требуется найти $OD$.

Из прямоугольных треугольников $AB_1C$ и $AC_1B$ (где углы при $B_1$ и $C_1$ прямые):

$$AB_1 = AB \cdot \cos 30° = \frac{AB\sqrt{3}}{2}$$

$$AC_1 = AC \cdot \cos 30° = \frac{AC\sqrt{3}}{2}$$

Треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны (две стороны пропорциональны и угол между ними общий). Коэффициент подобия равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из подобия:

$$BC = C_1B_1 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$$

$$BD = 6\sqrt{3}$$

Центральный угол $\angle BOC$ вдвое больше вписанного угла $\angle BAC$:

$$\angle BOC = 2 \cdot 30° = 60°$$

В треугольнике $OBD$ угол $\angle OBD = 60°$ (так как $OB = OC$ и $D$ — середина $BC$, треугольник $OBC$ равнобедренный). Угол $\angle ODB = 90°$ (радиус к середине хорды перпендикулярен хорде).

Из прямоугольного треугольника $OBD$:

$$OD = BD \cdot 	an 60° = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике