Question

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 48250 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение для остатка долга после трёх платежей, выразить сумму платежа через первоначальный долг, а затем использовать условие на разницу между суммой выплат и кредитом.

Обозначим:
- $S$ — сумма кредита;
- $x$ — размер каждого платежа;
- $k = 1{,}2$ — коэффициент увеличения долга (на 20%).

По условию сумма всех выплат составляет $S + 48250$ рублей.

Проследим изменение долга по годам:

**После 1-го года:**
- Долг после начисления процентов: $Sk$
- Долг после платежа: $Sk - x$

**После 2-го года:**
- Долг после начисления процентов: $(Sk - x)k$
- Долг после платежа: $(Sk - x)k - x$

**После 3-го года:**
- Долг после начисления процентов: $((Sk - x)k - x)k$
- Долг после платежа: $((Sk - x)k - x)k - x$

Поскольку кредит полностью погашен, финальный долг равен нулю:

$$((Sk - x)k - x)k - x = 0$$

Раскроем скобки:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

$$Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$$

$$x = \frac{Sk^3}{k^2 + k + 1}$$

Подставим $k = \frac{6}{5}$:

$$x = S \cdot \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3}{\left(\frac{6}{5}\right)^2 + \frac{6}{5} + 1}$$

Заметим, что знаменатель — это сумма геометрической прогрессии:

$$\left(\frac{6}{5}\right)^2 + \frac{6}{5} + 1 = \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3 - 1}{\frac{6}{5} - 1}$$

Следовательно:

$$x = S \cdot \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3}{\frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3 - 1}{\frac{6}{5} - 1}} = S \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^3 \cdot \frac{\frac{6}{5} - 1}{\left(\frac{6}{5}\right)^3 - 1}$$

Сумма трёх платежей:

$$3x = 3S \cdot \frac{6^3}{5^3} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{6^3 - 5^3} = 3S \cdot \frac{6^3}{5^3} \cdot \frac{5^2}{6^3 - 5^3} = \frac{3S \cdot 216 \cdot 25}{125 \cdot (216 - 125)} = \frac{648S}{455}$$

По условию:

$$3x = S + 48250$$

$$\frac{648S}{455} = S + 48250$$

$$\frac{648S - 455S}{455} = 48250$$

$$\frac{193S}{455} = 48250$$

$$S = \frac{455 \cdot 48250}{193} = 113750$$

Сумма выплат:

$$3x = 113750 + 48250 = 162000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике