Question

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $\angle ANB$.

б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC = 10$ и $AB = 24$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем свойства касательных к окружности, вписанной в угол, и применяем теорему синусов для связи хорды с радиусом.

**а) Доказательство параллельности**

Поскольку окружность касается обеих сторон угла $\angle ANB$, центр $O$ лежит на биссектрисе этого угла.

Обозначим $\angle KAC = \alpha$ (где $K$ — точка на стороне угла). По свойству вписанного угла:

$$\angle KAC = \frac{1}{2}\angle AOC = \angle ABC$$

Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $AO = OB = R$ (радиусы). Следовательно:

$$\angle ABC = \angle BAO$$

Поскольку $AB \perp NO$ (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания), в треугольниках $AαB$ и $AαO$ (где $α$ — точка пересечения $NO$ с $AB$) имеем:

$$\angle BAO = \angle ANα$$

Таким образом:

$$\angle ANα = \angle KAC$$

Эти углы равны и лежат по одну сторону от прямой $AC$, поэтому $AC \parallel NO$. ✓

**б) Вычисление длины $NO$**

Обозначим $\angle KAC = \alpha$.

В треугольнике $ABC$ по теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \alpha} = 2R$$

$$R = \frac{AC}{2\sin \alpha} = \frac{5}{\sin \alpha}$$

В прямоугольном треугольнике $AαO$ (где $α$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AB$):

$$\sin \alpha = \frac{αO}{AO} \Rightarrow αO = R \sin \alpha = 5$$

Треугольники $AαO$ и $NαA$ подобны по двум углам. Из подобия:

$$\frac{Nα}{Aα} = \frac{Aα}{αO}$$

Так как $Aα = \frac{AB}{2} = 12$:

$$Nα = \frac{(Aα)^2}{αO} = \frac{144}{5}$$

Следовательно:

$$NO = Nα + αO = \frac{144}{5} + 5 = \frac{169}{5}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/Eye7QQTyMUvq9Oie75ZFGY2xBxvskpfpEXSf7r6J.png)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике