Question

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите $F(-1) - F(-8)$ , где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/veiaLtHBwf8nD0gp7OQd5iZvzr6k8LjJFsctgos5.jpg)

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: разность значений первообразной равна определённому интегралу, который геометрически представляет площадь под графиком функции.

По формуле Ньютона—Лейбница:

$$F(-1) - F(-8) = \int_{-8}^{-1} f(x) \, dx$$

Этот интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными линиями $x = -8$ и $x = -1$.

На отрезке $[-8, -1]$ график представляет собой трапецию с вершинами в точках $(-8, 0)$, $(-5, 4)$, $(-1, 0)$ и основаниями, параллельными оси ординат.

Высота трапеции (расстояние между параллельными сторонами вдоль оси абсцисс):

$$h = -1 - (-8) = 7$$

Длины оснований трапеции (высоты в точках $x = -8$ и $x = -1$):

$$b_1 = 4, \quad b_2 = 0$$

Однако удобнее рассмотреть трапецию с основаниями, параллельными оси ординат. Левое основание имеет длину 4 (от $y = 0$ до $y = 4$ при $x = -5$), правое основание имеет длину 0 (точка на оси абсцисс при $x = -1$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h = \frac{4 + 0}{2} \cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14$$

Пересчитаем, учитывая геометрию графика. Трапеция имеет основания длины 3 и 7, высоту 4:

$$S = \frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$$

Задание №8Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике