Question

Найдите наименьшее значение функции

$$y = 12\cos x + \frac{45x}{\pi} - 4$$

на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3}; 0\right]$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/fWkjoCq3HWxgCBDepzJdhRg895n0NjB67DktJI0A.svg)

Accepted Answer

-40

Answer

Идея решения: вычислим производную, убедимся, что она не обращается в нуль на заданном промежутке, и определим характер монотонности функции.

Найдём производную:

$$y' = -12\sin x + \frac{45}{\pi}$$

Приравняем её к нулю:

$$-12\sin x + \frac{45}{\pi} = 0$$

$$\sin x = \frac{45}{12\pi} = \frac{15}{4\pi}$$

Поскольку $\frac{15}{4\pi} \approx 1{,}19 > 1$, уравнение не имеет решений. Это означает, что $\sin x < \frac{45}{12\pi}$ для всех $x$, следовательно, $y' > 0$ на всём промежутке.

Функция монотонно возрастает на $\left[-\frac{2\pi}{3}; 0\right]$, поэтому минимум достигается в левом конце отрезка.

Вычислим значение в точке $x = -\frac{2\pi}{3}$:

$$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 12\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{45 \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\pi} - 4$$

$$= 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 30 - 4 = -6 - 30 - 4 = -40$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике