Question

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.

Accepted Answer

63

Answer

Идея решения: многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ представляет собой треугольную пирамиду, основание которой — прямоугольный треугольник в нижней грани параллелепипеда, а высота совпадает с боковым ребром.

Четыре точки $A$, $B$, $C$, $B_1$ образуют пирамиду. В качестве основания возьмём треугольник $ABC$, лежащий в нижней грани параллелепипеда.

Треугольник $ABC$ — прямоугольный (угол при вершине $B$ прямой, так как $ABCD$ — прямоугольник). Его катеты равны $AB = 9$ и $BC = 7$.

Площадь основания:

$$S_{	ext{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = \frac{63}{2}$$

Высота пирамиды — это расстояние от точки $B_1$ до плоскости основания $ABC$. Поскольку $B_1$ находится прямо над $B$ на расстояние $BB_1 = AA_1 = 6$, высота пирамиды равна $h = 6$.

Объём пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{	ext{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{63}{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 189 = 63$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике