Question

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Цилиндр и конус с общим основанием

![Цилиндр и конус с общим основанием](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/dCKRBZoBR8iW9jqX14grsG0ECwbc3DVy4tyGjIwb.jpg)

Accepted Answer

6

Answer

Идея решения: выразить образующую конуса через радиус основания, использовать условие равенства высоты и радиуса, затем найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле:

$$S_{	ext{конуса}} = \pi r l$$

где $r$ — радиус основания, $l$ — образующая конуса.

Боковая поверхность цилиндра:

$$S_{	ext{цилиндра}} = 2\pi r h$$

По условию $h = r$.

Найдём образующую конуса. Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$$

Подставим в формулу боковой поверхности конуса:

$$3\sqrt{2} = \pi r \cdot r\sqrt{2}$$

$$3\sqrt{2} = \pi r^2 \sqrt{2}$$

$$\pi r^2 = 3$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{	ext{цилиндра}} = 2\pi r h = 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2 = 2 \cdot 3 = 6$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике