Question

Для нагревательного элемента прибора экспериментально установлена зависимость температуры (в К) от времени работы:

$$T(t) = T_0 + bt + at^2$$

где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1380$ К, $a = -15$ К/мин², $b = 165$ К/мин.

При превышении температурой нагревательного элемента 1800 К прибор может выйти из строя. Определите максимальное время (в минутах) после включения, в течение которого необходимо отключить прибор.

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: найти моменты времени, когда температура достигает критического значения 1800 К, и выбрать наименьший из них.

Подставим критическую температуру и известные параметры в формулу:

$$1800 = 1380 + 165t - 15t^2$$

Упростим уравнение:

$$15t^2 - 165t + 420 = 0$$

Разделим на 15:

$$t^2 - 11t + 28 = 0$$

По теореме Виета для корней этого уравнения:

$$t_1 + t_2 = 11, \quad t_1 \cdot t_2 = 28$$

Отсюда получаем $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Поскольку функция $T(t)$ — квадратичная с отрицательным коэффициентом при $t^2$ (ветви параболы направлены вниз), температура возрастает от нуля до момента $t = 4$ мин, затем убывает. Это означает, что прибор впервые достигает температуры 1800 К в момент $t = 4$ мин.

Следовательно, отключение необходимо произвести не позже чем через 4 минуты после начала работы.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике