Question

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система
$$\left\{ \begin{array}{l} (|x|-5)^{2}+(y-4)^{2}=9 \ (x+2)^{2}+y^{2}=a^{2} \end{array} ight.$$
имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разобрать геометрию — первое уравнение задаёт две окружности, второе — одну, и найти радиусы касания.

При $x \geq 0$ уравнение $(|x|-5)^{2}+(y-4)^{2}=9$ описывает окружность $\omega_1$ с центром $C_1(5;4)$ и радиусом $3$. При $x < 0$ оно описывает окружность $\omega_2$ с центром $C_2(-5;4)$ и радиусом $3$.

Уравнение $(x+2)^{2}+y^{2}=a^{2}$ при положительных $a$ задаёт окружность $\omega$ с центром $C(-2;0)$ и радиусом $a$. Требуется найти все значения $a$, при которых $\omega$ имеет ровно одну общую точку с объединением $\omega_1 \cup \omega_2$.

**Анализ касания с $\omega_1$:**

Вычислим расстояние между центрами:
$$CC_1 = \sqrt{(5-(-2))^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$$

Обозначим через $A_1$ и $B_1$ точки пересечения луча $CC_1$ с окружностью $\omega_1$, где $A_1$ расположена между $C$ и $C_1$. Тогда:
$$CA_1 = \sqrt{65}-3, \quad CB_1 = \sqrt{65}+3$$

Окружности $\omega$ и $\omega_1$ касаются при $a = CA_1 = \sqrt{65}-3$ (внутреннее касание) или $a = CB_1 = \sqrt{65}+3$ (внешнее касание).

**Анализ касания с $\omega_2$:**

Вычислим расстояние между центрами:
$$CC_2 = \sqrt{(-5-(-2))^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$$

Обозначим через $A_2$ и $B_2$ точки пересечения луча $CC_2$ с окружностью $\omega_2$, где $A_2$ расположена между $C$ и $C_2$. Тогда:
$$CA_2 = 5-3 = 2, \quad CB_2 = 5+3 = 8$$

Окружности $\omega$ и $\omega_2$ касаются при $a = CA_2 = 2$ (внутреннее касание) или $a = CB_2 = 8$ (внешнее касание).

**Определение условия единственности:**

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\omega$ касается ровно одной из окружностей $\omega_1$, $\omega_2$ и не пересекается с другой.

Поскольку $CA_2 < CA_1 < CB_2 < CB_1$, то есть $2 < \sqrt{65}-3 < 8 < \sqrt{65}+3$, условию задачи удовлетворяют только:
- $a = 2$ (касание с $\omega_2$, непересечение с $\omega_1$);
- $a = \sqrt{65}+3$ (касание с $\omega_1$, непересечение с $\omega_2$).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике