Question

Решите неравенство:

$$\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\geq\frac{3}{8^{x}-1}+\frac{8}{64^{x}-5\cdot 8^{x}+4}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать левую часть, ввести замену $t = 8^x$, привести к общему знаменателю и решить рациональное неравенство методом интервалов. Перепишем левую часть, разделив числитель и знаменатель на 8: $$\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1} = \frac{\frac{2\cdot 8^x}{8}}{\frac{2\cdot 8^x}{8}-1}$$ Заметим, что $64^x = (8^x)^2$, поэтому знаменатель третьей дроби раскладывается как: $$64^x - 5\cdot 8^x + 4 = (8^x)^2 - 5\cdot 8^x + 4 = (8^x - 1)(8^x - 4)$$ Введём замену $t = 8^x$, где $t > 0$: $$\frac{\frac{2t}{8}}{\frac{2t}{8}-1}\geq\frac{3}{t-1}+\frac{8}{(t-1)(t-4)}$$ Упростим левую часть: $$\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t-4}{4}} = \frac{t}{t-4}$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{t}{t-4}\geq\frac{3}{t-1}+\frac{8}{(t-1)(t-4)}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t}{t-4}-\frac{3}{t-1}-\frac{8}{(t-1)(t-4)}\geq 0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-1)(t-4)$: $$\frac{t(t-1)-3(t-4)-8}{(t-1)(t-4)}\geq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2-t-3t+12-8}{(t-1)(t-4)}\geq 0$$ $$\frac{t^2-4t+4}{(t-1)(t-4)}\geq 0$$ Заметим, что числитель — полный квадрат: $$\frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)}\geq 0$$ Решим методом интервалов. Нули числителя: $t = 2$ (кратность 2). Нули знаменателя: $t = 1$, $t = 4$. На числовой оси отмечаем точки $1$, $2$, $4$. Анализируя знаки на каждом интервале: - при $t < 1$: знак $+$; - при $1 < t < 2$: знак $-$; - при $t = 2$: значение $0$; - при $2 < t < 4$: знак $-$; - при $t > 4$: знак $+$. Решение неравенства: $t < 1$, $t = 2$, $t > 4$. Вернёмся к переменной $x$: $$8^x < 1 \quad \Rightarrow \quad x < 0$$ $$8^x = 2 \quad \Rightarrow \quad 2^{3x} = 2^1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}$$ $$8^x > 4 \quad \Rightarrow \quad 2^{3x} > 2^2 \quad \Rightarrow \quad 3x > 2 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{2}{3}$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике