Question

Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{x^2 + 49}{x}$ на отрезке $[1; 19]$.

Accepted Answer

14

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их принадлежность отрезку и определить характер монотонности. Вычислим производную: $$y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 49) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 49}{x^2} = \frac{x^2 - 49}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{x^2 - 49}{x^2} = 0$$ $$x^2 - 49 = 0$$ $$x = \pm 7$$ На отрезке $[1; 19]$ лежит только $x = 7$. Проанализируем знак производной методом интервалов. При $x \in (0; 7)$ имеем $x^2 - 49 < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает. При $x \in (7; +\infty)$ имеем $x^2 - 49 > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает. Следовательно, $x = 7$ — точка минимума на данном отрезке. Вычислим значение в этой точке: $$y(7) = \frac{49 + 49}{7} = \frac{98}{7} = 14$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике