Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\frac{4x^{2}-a^{2}}{x^{2}+6x+9-a^{2}}=0$$ 
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю; нужно найти, при каких значениях параметра ровно два корня числителя не обращают знаменатель в нуль.

Решение дробного уравнения сводится к поиску корней числителя, удовлетворяющих условию ненулевости знаменателя.

Разложим числитель:
$$4x^{2}-a^{2}=(2x-a)(2x+a)$$

Уравнение $4x^{2}-a^{2}=0$ определяет две прямые на плоскости $Oxa$:
$$a=2x \quad 	ext{(прямая } l_1	ext{)}$$
$$a=-2x \quad 	ext{(прямая } l_2	ext{)}$$

При $a=0$ числитель имеет один корень $x=0$; при $a 
eq 0$ — два корня.

Разложим знаменатель:
$$x^{2}+6x+9-a^{2}=(x+3)^2-a^{2}=(x+3-a)(x+3+a)$$

Уравнение $x^{2}+6x+9-a^{2}=0$ определяет две прямые:
$$a=x+3 \quad 	ext{(прямая } m_1	ext{)}$$
$$a=-x-3 \quad 	ext{(прямая } m_2	ext{)}$$

Найдём точки пересечения этих прямых.

**Пересечение $l_1$ и $m_1$:**
$$\begin{cases} a=2x \ a=x+3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=x+3 \ a=2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3 \ a=6 \end{cases}$$

**Пересечение $l_1$ и $m_2$:**
$$\begin{cases} a=2x \ a=-x-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=-x-3 \ a=2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \ a=-2 \end{cases}$$

**Пересечение $l_2$ и $m_1$:**
$$\begin{cases} a=-2x \ a=x+3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x=x+3 \ a=-2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \ a=2 \end{cases}$$

**Пересечение $l_2$ и $m_2$:**
$$\begin{cases} a=-2x \ a=-x-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x=-x-3 \ a=-2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3 \ a=-6 \end{cases}$$

Условие $x^{2}+6x+9-a^{2} 
eq 0$ нарушается при $a \in \{-6, -2, 2, 6\}$.

При этих значениях один из двух корней числителя совпадает с корнем знаменателя и исключается из решения.

Исходное уравнение имеет ровно два корня при всех остальных значениях $a$:

$$a \in (-\infty, -6) \cup (-6, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 6) \cup (6, +\infty)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике