Question

В треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB = 30°$ . Отрезки $AH$ и $AM$ — высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM$ . Отрезок $MQ$ — высота треугольника $AMC$ , а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F$ . Известно, что $AM$ — биссектриса угла $\angle CAH$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CMF$ , если $AB = 8$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CMF$, если $AB = 8$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойство биссектрисы и равенство треугольников, установим, что медиана $AM$ равна половине гипотенузы, откуда следует прямой угол при вершине $A$.

**а) Доказательство**

Поскольку $AM$ — биссектриса угла $\angle CAH$, имеем $\angle QAM = \angle MAH$.

Треугольники $QMA$ и $AMH$ равны по стороне и двум прилежащим углам (сторона $AM$ общая, углы при $A$ равны, оба треугольника содержат прямые углы при $Q$ и $H$ соответственно). Следовательно:

$$QM = MH, \quad QA = AH$$

По свойству биссектрисы в треугольнике $ACH$:

$$\frac{AH}{HM} = \frac{AC}{CM}$$

В прямоугольном треугольнике $ACH$ (прямой угол при $H$) с углом $\angle ACH = 30°$ получаем:

$$AH = \frac{1}{2}AC$$

Подставляя в соотношение биссектрисы:

$$\frac{HM}{CM} = \frac{1}{2}$$

Из условия $AQ = AH = \frac{1}{2}AC$ и того, что $Q$ лежит на $AC$, следует $AQ = QC$.

Треугольники $CQM$ и $AQM$ равны по двум катетам ($QM$ — общий, $AQ = QC$). Поэтому:

$$CM = AM$$

Так как $M$ — середина $BC$ (медиана) и $CM = AM$, то $AM = \frac{1}{2}BC$. Это означает, что медиана из вершины $A$ равна половине противоположной стороны, что возможно только если $\angle BAC = 90°$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный. ✓

**б) Вычисление площади**

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с $\angle BAC = 90°$ и $\angle ACB = 30°$ имеем $\angle ABC = 60°$.

Из условия $AB = 8$ и соотношения сторон в треугольнике с углами $30°$-$60°$-$90°$:

$$BC = \frac{AB}{\sin 30°} = \frac{8}{1/2} = 16$$

Медиана $AM$ из прямого угла равна половине гипотенузы:

$$AM = CM = MB = 8$$

Из равенства $HM = \frac{1}{2}CM$:

$$HM = 4, \quad QM = 4$$

В прямоугольном треугольнике $QCM$ (прямой угол при $Q$) по теореме Пифагора:

$$CQ^2 = CM^2 - QM^2 = 64 - 16 = 48$$

$$CQ = 4\sqrt{3}$$

Треугольники $QCM$ и $MHF$ равны по стороне $MH = MQ$ и углам $\angle QCM = \angle MFH$ (вертикальные углы и равенство треугольников). Следовательно:

$$MF = CM = 8$$

Площадь треугольника $CMF$ (с высотой $CQ$ из вершины $C$ к стороне $MF$):

$$S_{CMF} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot CQ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/oc0zOMQAmiA5rVhhKndXbUbvdGYjcTebL7o9MbfD.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике