Question

Решите неравенство:

$$\frac{3^{x}+9}{3^{x}-9}+\frac{3^{x}-9}{3^{x}+9}\geq\frac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^{x}-81}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 3^x$, приведём обе части к общему знаменателю и разложим числитель на множители. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x = 3t$. Перепишем неравенство: $$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}\geq\frac{12t+144}{t^2-81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t+9)^2+(t-9)^2}{(t-9)(t+9)}\geq\frac{12t+144}{(t-9)(t+9)}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{(t+9)^2+(t-9)^2-12t-144}{(t-9)(t+9)}\geq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$(t+9)^2+(t-9)^2 = t^2+18t+81+t^2-18t+81 = 2t^2+162$$ Числитель принимает вид: $$2t^2+162-12t-144 = 2t^2-12t+18 = 2(t^2-6t+9) = 2(t-3)^2$$ Получаем: $$\frac{2(t-3)^2}{(t-9)(t+9)}\geq 0$$ Анализируем знаки на числовой оси (см. диаграмму): - При $t < -9$: знаменатель отрицателен, числитель положителен — дробь отрицательна. - При $-9 < t < 3$: знаменатель отрицателен, числитель положителен — дробь отрицательна. - При $t = 3$: числитель равен нулю — дробь равна нулю. - При $3 < t < 9$: знаменатель отрицателен, числитель положителен — дробь отрицательна. - При $t > 9$: знаменатель положителен, числитель положителен — дробь положительна. Неравенство выполняется при $t = 3$ или $t > 9$. Возвращаемся к переменной $x$: При $t = 3$: $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. При $t > 9$: $3^x > 9 = 3^2 \Rightarrow x > 2$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике