Question

Найдите угол $\angle ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $17°$. Ответ дайте в градусах.

![Рисунок 1](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/QzQgQdHAtuZN2LQZ8o1yxyp9Re94CFiIHe7mYbi2.jpg)

Accepted Answer

73

Answer

Идея решения: используем связь между центральным углом и дугой, а также свойство касательной, перпендикулярной радиусу.

Дуга $AB$ равна $17°$, поэтому центральный угол, опирающийся на эту дугу, также равен $17°$:

$$\angle AOB = 17°$$

Так как $CA$ — касательная к окружности в точке $A$, радиус $OA$ перпендикулярен касательной:

$$OA \perp CA$$

Следовательно, $\angle OAC = 90°$.

В треугольнике $AOC$ сумма углов равна $180°$:

$$\angle OAC + \angle AOC + \angle ACO = 180°$$

Угол $\angle AOC$ состоит из углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Поскольку точка $B$ лежит на отрезке $CO$, имеем $\angle AOC = \angle AOB = 17°$.

Подставляем в уравнение:

$$90° + 17° + \angle ACO = 180°$$

$$\angle ACO = 73°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике