Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для косинуса, свести к квадратному уравнению относительно $\cos x$, затем отобрать корни на заданном отрезке.

**а)** Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и свойство $\cos(-x) = \cos x$:

$$2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0$$

$$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$

Введём замену $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$:

$$2t^2 + t - 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$$

Оба значения принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Возвращаемся к переменной $x$:

При $\cos x = \frac{1}{2}$:

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\cos x = -1$:

$$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности.

Из семейства $x = \pi + 2\pi k$:
- При $k = -2$: $x = \pi - 4\pi = -3\pi$ ✓ (принадлежит отрезку)

Из семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
- При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$ ✗ (не принадлежит)

Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
- При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3}$ ✓ (принадлежит отрезку)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике