Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} ax \geq 2 \ \sqrt{x-1} > a \ 3x \leq 2a+11 \end{array} ight.$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3; 4]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать каждое неравенство в виде ограничения на $a$, затем найти значения параметра, при которых эти ограничения совместны на заданном отрезке.

Преобразуем систему, выражая $a$ через $x$.

Из первого неравенства при $x > 0$:

$$a \geq \frac{2}{x}$$

Из второго неравенства:

$$a < \sqrt{x-1}$$

Из третьего неравенства:

$$a \geq \frac{3x - 11}{2}$$

Система имеет решение на $[3; 4]$, если существует $x \in [3; 4]$, для которого одновременно выполнены все три условия:

$$\frac{2}{x} \leq a < \sqrt{x-1} \quad 	ext{и} \quad \frac{3x - 11}{2} \leq a$$

Это равносильно:

$$\max\left\{\frac{2}{x}, \frac{3x - 11}{2}ight\} \leq a < \sqrt{x-1}$$

Для существования решения необходимо, чтобы при некотором $x \in [3; 4]$ выполнялось:

$$\max\left\{\frac{2}{x}, \frac{3x - 11}{2}ight\} < \sqrt{x-1}$$

Проверим граничные точки отрезка.

При $x = 3$:
- $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$
- $\frac{3 \cdot 3 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
- $\sqrt{3-1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$

Максимум из первых двух: $\frac{2}{3}$. Условие $\frac{2}{3} < \sqrt{2}$ выполнено.

При $x = 4$:
- $\frac{2}{4} = 0{,}5$
- $\frac{3 \cdot 4 - 11}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5$
- $\sqrt{4-1} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$

Максимум: $0{,}5$. Условие $0{,}5 < \sqrt{3}$ выполнено.

Из графического анализа (см. рисунок) видно, что область пересечения всех трёх условий непуста на отрезке $[3; 4]$ при значениях $a$ в диапазоне от нижней границы до верхней.

На левой границе $x = 3$ нижняя граница для $a$: $\max\left\{\frac{2}{3}, -1ight\} = \frac{2}{3}$.

На правой границе $x = 4$ нижняя граница для $a$: $\max\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}ight\} = \frac{1}{2}$.

Верхняя граница определяется условием $a < \sqrt{x-1}$. При $x = 3$: $a < \sqrt{2}$. При $x = 4$: $a < \sqrt{3}$.

Таким образом, система имеет решение при:

$$\frac{1}{2} \leq a < \sqrt{3}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике