Question

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 5$ , $BC = 4$ , $AA_1 = 3$ . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $A_1$ , $B_1$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/kAzLdiv8BFKNd3DdmX2GJUju8Qe9R20GXRD77FK9.jpg)

Accepted Answer

30

Answer

Идея решения: многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$ составляет ровно половину объёма исходного параллелепипеда.

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен:

$$V_{	ext{парал}} = AB \cdot BC \cdot AA_1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$$

Многогранник $ABCDA_1B_1$ получается из параллелепипеда удалением пирамиды $B_1C_1D_1C$ (или эквивалентно — плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $C$, $D$). Эта плоскость делит параллелепипед на две равные части.

Следовательно:

$$V_{ABCDA_1B_1} = \frac{1}{2} V_{	ext{парал}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике