Question

а) Решите уравнение $2\sin\left( x+\frac{\pi}{6} \right)-2\sqrt{3}{\cos}^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы, приведём уравнение к произведению и найдём все решения, затем отберём те, что лежат в заданном интервале.

**а) Решение уравнения**

Раскроем синус суммы:

$$2\left( \sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6} \right)-2\sqrt{3}{\cos}^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$$

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$:

$$2\left( \sin x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos x\cdot\frac{1}{2} \right)-2\sqrt{3}{\cos}^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$$

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}{\cos}^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$$

Используя ${\cos}^{2}x=1-{\sin}^{2}x$:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}(1-{\sin}^{2}x)=\cos x-2\sqrt{3}$$

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}{\sin}^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$$

Сокращаем $\cos x$ и $-2\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}{\sin}^{2}x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt{3}\sin x(1+2\sin x)=0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right]$**

Для семейства $x=\pi k$:

При $k=-2$: $x=-2\pi$ — принадлежит отрезку.

При $k=-1$: $x=-\pi$ — граница отрезка, принадлежит.

Для семейства $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$:

При $k=-1$: $x=-\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{13\pi}{6}$ — принадлежит отрезку.

Для семейства $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$:

При $k=-1$: $x=-\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{17\pi}{6}$ — не принадлежит (меньше $-\frac{5\pi}{2}=-\frac{15\pi}{6}$).

При $k=0$: $x=-\frac{5\pi}{6}$ — не принадлежит (больше $-\pi$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике