Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} y=\left( a+2 ight)x^{2}+2ax+a-2 \ y^{2}=x^{2} \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить второе уравнение на два случая, подставить в первое и потребовать, чтобы каждый случай дал ровно два решения, исключив вырожденные ситуации. Из второго уравнения получаем: $$y^{2}-x^{2}=0$$ $$(y-x)(y+x)=0$$ Следовательно: $$\left[ \begin{array}{c} y=x \ y=-x \end{array} ight.$$ Подставим каждый случай в первое уравнение. **Случай 1:** $y=x$ $$(a+2)x^{2}+2ax+a-2=x$$ $$(a+2)x^{2}+(2a-1)x+a-2=0$$ Дискриминант: $$D_{1}=(2a-1)^{2}-4(a+2)(a-2)$$ $$=4a^{2}-4a+1-4(a^{2}-4)$$ $$=4a^{2}-4a+1-4a^{2}+16$$ $$=17-4a$$ Для двух решений требуется $D_{1}>0$: $$17-4a>0 \Rightarrow a<\frac{17}{4}$$ **Случай 2:** $y=-x$ $$(a+2)x^{2}+2ax+a-2=-x$$ $$(a+2)x^{2}+(2a+1)x+a-2=0$$ Дискриминант: $$D_{2}=(2a+1)^{2}-4(a+2)(a-2)$$ $$=4a^{2}+4a+1-4(a^{2}-4)$$ $$=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+16$$ $$=17+4a$$ Для двух решений требуется $D_{2}>0$: $$17+4a>0 \Rightarrow a>-\frac{17}{4}$$ **Исключение вырожденных случаев:** Если $a+2=0$, то есть $a=-2$, оба уравнения становятся линейными, и система не даст четыре решения. Значит, $a eq -2$. Прямые $y=x$ и $y=-x$ пересекаются в начале координат $(0;0)$. Если парабола проходит через эту точку, то одно решение совпадает в обоих случаях, и всего будет три решения вместо четырёх. Проверим, при каком $a$ парабола проходит через $(0;0)$: $$0=(a+2) \cdot 0+2a \cdot 0+a-2$$ $$a-2=0 \Rightarrow a=2$$ Значит, $a eq 2$. **Объединение условий:** $$-\frac{17}{4}

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике