Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_2 32x}{\log_2 x - 5} + \frac{\log_2 x - 5}{\log_2 32x} \geq \frac{\log_2 x^{16} + 18}{\log_2^2 x - 25}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной на логарифм, привести дроби к общему знаменателю и разложить числитель на множители. Область определения: $x > 0$. Раскроем логарифмы произведения и степени: $$\frac{\log_2 32 + \log_2 x}{\log_2 x - 5} + \frac{\log_2 x - 5}{\log_2 32 + \log_2 x} \geq \frac{16\log_2 x + 18}{\log_2^2 x - 25}$$ $$\frac{5 + \log_2 x}{\log_2 x - 5} + \frac{\log_2 x - 5}{5 + \log_2 x} \geq \frac{16\log_2 x + 18}{\log_2^2 x - 25}$$ Введём замену $t = \log_2 x$: $$\frac{5 + t}{t - 5} + \frac{t - 5}{5 + t} \geq \frac{16t + 18}{t^2 - 25}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(5 + t)^2 + (t - 5)^2}{(t - 5)(5 + t)} \geq \frac{16t + 18}{t^2 - 25}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{25 + 10t + t^2 + t^2 - 10t + 25}{(t - 5)(t + 5)} \geq \frac{16t + 18}{(t - 5)(t + 5)}$$ $$\frac{2t^2 + 50}{(t - 5)(t + 5)} \geq \frac{16t + 18}{(t - 5)(t + 5)}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{2t^2 + 50 - 16t - 18}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ $$\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ $$\frac{2(t^2 - 8t + 16)}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ $$\frac{2(t - 4)^2}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ Числитель неотрицателен при всех $t$. Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен или числитель равен нулю: $$(t - 5)(t + 5) > 0 \quad ext{или} \quad t = 4$$ Решение по $t$: $t < -5$, $t = 4$, $t > 5$. Вернёмся к переменной $x$: $$\log_2 x < -5 \quad \Rightarrow \quad x < 2^{-5} = \frac{1}{32}$$ $$\log_2 x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2^4 = 16$$ $$\log_2 x > 5 \quad \Rightarrow \quad x > 2^5 = 32$$ С учётом ограничения $x > 0$: $$x \in \left(0; \frac{1}{32} ight) \cup \{16\} \cup (32; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике