Question

а) Решите уравнение $16^{\sin x} + 16^{\sin(x + \pi)} = \frac{17}{4}$.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем свойство синуса противоположного аргумента, вводим замену и решаем квадратное уравнение относительно показательной функции.

**а) Решение уравнения**

Заметим, что $\sin(x + \pi) = -\sin x$, поэтому:

$$16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4}$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4}$$

Обозначим $t = 16^{\sin x}$, где $t > 0$:

$$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4t^2 + 4 - 17t}{4t} = 0$$

Так как $t 
eq 0$:

$$4t^2 - 17t + 4 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 289 - 64 = 225$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4, \quad t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{1}{4}$$

**Случай 1:** $16^{\sin x} = 4$

$$4^{2\sin x} = 4^1$$

$$2\sin x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $16^{\sin x} = \frac{1}{4}$

$$4^{2\sin x} = 4^{-1}$$

$$2\sin x = -1$$

$$\sin x = -\frac{1}{2}$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\piight]$**

Проверим каждую серию решений:

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Проверим: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, $3\pi = \frac{18\pi}{6}$. Так как $\frac{9\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} < \frac{18\pi}{6}$, корень $\frac{13\pi}{6}$ принадлежит отрезку.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$.

Проверим: $\frac{9\pi}{6} < \frac{17\pi}{6} < \frac{18\pi}{6}$, корень $\frac{17\pi}{6}$ принадлежит отрезку.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Проверим: $\frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} < \frac{18\pi}{6}$, корень $\frac{11\pi}{6}$ принадлежит отрезку.

Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$.

Проверим: $\frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}$, этот корень не принадлежит отрезку.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/TshOM1zovxNqvOgTRvVSYPcJekNEvzUb3JLGyNkM.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике