Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} ax^{2}+ay^{2}-(2a-5)x+2ay+1=0 \ x^{2}+y=xy+x \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить второе уравнение на два случая, затем потребовать, чтобы каждый случай дал два решения, не совпадающих между собой. Преобразуем второе уравнение: $$x^{2}+y-xy-x=0$$ $$x(x-1)-y(x-1)=0$$ $$(x-1)(x-y)=0$$ Отсюда получаем два случая: $$\left[ \begin{array}{c} x=1 \ x=y \end{array} ight.$$ Для четырёх решений системы необходимо, чтобы при каждом значении $x$ первое уравнение давало ровно два различных значения $y$, и эти решения не совпадали между собой. **Случай 1: $x=1$** Подставим $x=1$ в первое уравнение: $$a+ay^{2}-(2a-5)+2ay+1=0$$ $$ay^{2}+2ay-a+6=0$$ Для двух различных корней по $y$ требуется $D>0$: $$D=(2a)^{2}-4a(-a+6)=4a^{2}+4a^{2}-24a=8a^{2}-24a$$ $$8a^{2}-24a>0$$ $$a^{2}-3a>0$$ $$a(a-3)>0$$ $$a<0 ext{ или } a>3$$ При $a=0$ уравнение становится $6=0$, что невозможно. **Случай 2: $x=y$** Подставим $x=y$ в первое уравнение: $$ay^{2}+ay^{2}-(2a-5)y+2ay+1=0$$ $$2ay^{2}+5y+1=0$$ Для двух различных корней требуется $D>0$: $$D=25-8a>0$$ $$a<\frac{25}{8}$$ При $a=0$ уравнение становится $5y+1=0$, что даёт только одно решение. Решения совпадают, если точка $(1;1)$ удовлетворяет обоим случаям. Подставим $(1;1)$ в первое уравнение: $$a+a-(2a-5)+2a+1=0$$ $$2a+6=0$$ $$a=-3$$ Объединяя условия: - Из случая 1: $a<0$ или $a>3$ - Из случая 2: $a<\frac{25}{8}$ - Исключаем: $a=-3$ (совпадение решений) - Исключаем: $a=0$ (нет двух корней в обоих случаях) Пересечение: $(a<0$ или $a>3)$ и $a<\frac{25}{8}$ и $a eq -3$ и $a eq 0$. Это даёт: $a\in(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(3;\frac{25}{8})$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике