Question

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 8, а боковое ребро $SA$ равно 7. На ребрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 2$ , $SK = 1$ . Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$ .

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить плоскость через точки $M$ и $K$, перпендикулярную основанию, и показать, что она проходит через $C$, используя подобие треугольников.

**а) Доказательство**

Обозначим $O$ — центр квадратного основания. Так как пирамида правильная, $SO$ — её высота, перпендикулярная плоскости $ABC$.

Из точки $K$ проведём перпендикуляр к плоскости основания; обозначим его основание через $H$. Тогда $KH \parallel SO$ и $KH \perp (ABC)$.

Рассмотрим треугольники $KHB$ и $SBO$. Они подобны, так как $\angle KHB = \angle SOB = 90°$ и $\angle SBO$ — общий угол. Из подобия:

$$\frac{HB}{OB} = \frac{KB}{SB} = \frac{6}{7}$$

Пусть $HB = 6x$ и $OB = 7x$. Тогда $OH = x$ и $DO = OB = 7x$.

Проведём прямую через $M$ и $H$ и продолжим её до пересечения с прямой $DC$; обозначим точку пересечения через $C_1$.

Треугольники $MHB$ и $C_1HD$ подобны (вертикальные углы при $H$ и накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $MB$ и $DC_1$ секущей $MH$). Из подобия:

$$\frac{HB}{DH} = \frac{MB}{DC_1}$$

Имеем $HB = 6x$, $DH = DO + OH = 7x + x = 8x$, $MB = 6$. Следовательно:

$$\frac{6x}{8x} = \frac{6}{DC_1} \implies DC_1 = 8$$

Так как $DC = 8$, получаем $C_1 = C$. Таким образом, плоскость $\alpha$, содержащая $M$, $K$ и перпендикулярная $(ABC)$, проходит через точку $C$.

**б) Вычисление площади сечения**

Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ — это треугольник $MKC$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $MBC$:

$$MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$

Найдём высоту пирамиды. В правильной пирамиде $OB = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $SOB$:

$$SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$$

Из подобия треугольников $KHB$ и $SBO$:

$$\frac{KH}{SO} = \frac{BK}{BS} = \frac{6}{7}$$

Следовательно:

$$KH = \frac{6}{7}\sqrt{17}$$

Площадь треугольника $MKC$ (где $KH$ — высота, опущенная из $K$ на $MC$):

$$S_{MKC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{6}{7}\sqrt{17} = \frac{30\sqrt{17}}{7}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике