Question

Катер отправился из пункта А в пункт В (расстояние 35 км) в 10:00, двигаясь по течению реки. После четырёхчасовой стоянки в пункте В катер вернулся в пункт А, прибыв туда в 18:00. Скорость течения составляет 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера (в км/ч).

Accepted Answer

18

Answer

Идея решения: обозначить собственную скорость катера переменной и составить уравнение на основе того, что общее время в пути (туда и обратно) равно разности между временем прибытия и отправления минус время стоянки.

Обозначим собственную скорость катера как $x$ км/ч.

При движении по течению скорость катера составляет $x + 3$ км/ч, против течения — $x - 3$ км/ч.

Время в пути по течению:

$$t_1 = \frac{35}{x+3}$$

Время в пути против течения:

$$t_2 = \frac{35}{x-3}$$

Общее время в пути туда и обратно равно разности между 18:00 и 10:00 минус 4 часа стоянки, то есть 4 часа.

Составим уравнение:

$$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{35(x-3) + 35(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 4$$

$$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$$

$$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$$

$$70x = 4(x^2 - 9)$$

$$70x = 4x^2 - 36$$

$$4x^2 - 70x - 36 = 0$$

$$2x^2 - 35x - 18 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{35 \pm \sqrt{1225 + 144}}{4} = \frac{35 \pm \sqrt{1369}}{4} = \frac{35 \pm 37}{4}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18$$

$$x_2 = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$$

Так как скорость должна быть положительной, $x = 18$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике