Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left| x^{2}+a^{2}-6x-4a \right|=2x+2a$ имеет четыре различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модуль, свести к двум уравнениям, переписать их как окружности в плоскости $(x, a)$, найти условие на четыре пересечения с полуплоскостью $x \geq -a$.

Раскроем модуль с учётом условия $2x+2a \geq 0$:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^{2}+a^{2}-6x-4a=2x+2a \ x^{2}+a^{2}-6x-4a=-2x-2a \end{array} ight. \ x \geq -a \end{array} ight.$$

Упростим каждое уравнение:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^{2}-8x+a^{2}-6a=0 \ x^{2}-4x+a^{2}-2a=0 \end{array} ight. \ x \geq -a \end{array} ight.$$

Выделим полные квадраты в обоих уравнениях:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} (x-4)^{2}+(a-3)^{2}=25 \ (x-2)^{2}+(a-1)^{2}=5 \end{array} ight. \ x \geq -a \end{array} ight.$$

Первое уравнение задаёт окружность с центром $(4, 3)$ и радиусом $5$. Второе — окружность с центром $(2, 1)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Найдём пересечение первой окружности с граничной прямой $x = -a$:

$$(-a-4)^{2}+(a-3)^{2}=25$$

$$a^{2}+8a+16+a^{2}-6a+9=25$$

$$2a^{2}+2a=0$$

$$a=0 	ext{ или } a=-1$$

При $a=0$ получаем $x=0$; при $a=-1$ получаем $x=1$.

Найдём пересечение второй окружности с прямой $x = -a$:

$$(-a-2)^{2}+(a-1)^{2}=5$$

$$a^{2}+4a+4+a^{2}-2a+1=5$$

$$2a^{2}+2a=0$$

Снова $a=0$ или $a=-1$.

При $a=0$ получаем $x=0$; при $a=-1$ получаем $x=1$.

Для четырёх различных корней исходного уравнения необходимо, чтобы обе окружности пересекали полуплоскость $x \geq -a$ в двух точках каждая. Это происходит, когда граничная прямая $x = -a$ касается обеих окружностей или пересекает их в двух точках, но не проходит через центры.

Анализируя геометрию (см. диаграмму), граничная прямая должна быть касательной к обеим окружностям одновременно. Это происходит при:

$$a = 1 - \sqrt{5} 	ext{ или } a = 1 + \sqrt{5}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике