Question

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . На рёбрах $CD$ , $CC_1$ и $A_1B_1$ отмечены точки $K$ , $L$ и $M$ соответственно. Известно, что $A_1M = MB_1$ , $DK = 3KC$ , а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что $CL = LC_1$ .

б) Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , если $AA_1 = 5$ .

а) Докажите, что $CL = LC_1$.

б) Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 5$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойства равнобедренной трапеции и подобие треугольников, найти положение точки $L$, а затем из условия равенства боковых сторон трапеции определить размер основания.

**а) Доказательство**

Поскольку $AKLM$ — равнобедренная трапеция, имеем $AM \parallel LK$ и $ML = AK$.

Рассмотрим треугольники $AA_1M$ и $LCK$. Из условия $AM \parallel LK$ следует, что $\angle A_1MA = \angle LKC$ и $\angle A_1AM = \angle KLC$ (как накрест лежащие углы). Следовательно, $	riangle AA_1M \sim 	riangle LCK$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{AA_1}{LC} = \frac{A_1M}{CK} = \frac{AM}{LK}$$

Подставим известные соотношения. Так как $A_1M = MB_1$ и $M$ лежит на $A_1B_1$, то $A_1M = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2}DC$. Из условия $DK = 3KC$ получаем $CK = \frac{1}{4}DC$.

Тогда:

$$\frac{AA_1}{LC} = \frac{\frac{1}{2}DC}{\frac{1}{4}DC} = 2$$

Следовательно:

$$LC = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2}CC_1$$

Это означает, что $CL = LC_1$, что и требовалось доказать.

**б) Нахождение объёма**

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:

$$V = AA_1 \cdot AB \cdot AD$$

Обозначим сторону основания через $a$. Так как призма правильная, $AB = BC = CD = DA = a$.

Из условия $DK = 3KC$ имеем $DK = \frac{3}{4}a$ и $KC = \frac{1}{4}a$.

В прямоугольном треугольнике $AKD$ (угол при $D$ прямой):

$$AK^2 = AD^2 + DK^2 = a^2 + \frac{9}{16}a^2 = \frac{25}{16}a^2$$

$$AK = \frac{5}{4}a$$

Так как $A_1M = MB_1 = \frac{a}{2}$, в прямоугольном треугольнике $MB_1C_1$ (угол при $B_1$ прямой):

$$MC_1^2 = B_1C_1^2 + MB_1^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$$

$$MC_1 = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Из пункта а) $C_1L = \frac{5}{2}$. В прямоугольном треугольнике $MC_1L$ (угол при $C_1$ прямой):

$$ML^2 = MC_1^2 + C_1L^2 = \frac{5a^2}{4} + \frac{25}{4} = \frac{5a^2 + 25}{4}$$

Из условия равнобедренности трапеции $ML = AK$:

$$\frac{5a^2 + 25}{4} = \frac{25}{16}a^2$$

$$20a^2 + 100 = 25a^2$$

$$5a^2 = 100$$

$$a = 2\sqrt{5}$$

Вычислим объём:

$$V = 5 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/VJa4eh4SR9P3Pe0EpDcvLNGieEYeJuQilWe7I4mz.png)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике