Question

Решите неравенство:

$$\log_{3}\left((2-x)(x^{2}+5)\right) \geq \log_{3}(x^{2}-5x+6) + \log_{3}(4-x)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить квадратный трёхчлен в правой части, упростить логарифмы и сократить общие слагаемые. Преобразуем правую часть, заметив, что $x^{2}-5x+6 = (2-x)(3-x)$: $$\log_{3}\left((2-x)(x^{2}+5)\right) \geq \log_{3}((2-x)(3-x)) + \log_{3}(4-x)$$ Раскроем логарифмы произведений: $$\log_{3}(2-x) + \log_{3}(x^{2}+5) \geq \log_{3}(2-x) + \log_{3}(3-x) + \log_{3}(4-x)$$ Для определённости неравенства требуется $(2-x) > 0$, $(x^{2}+5) > 0$, $(3-x) > 0$ и $(4-x) > 0$. Условие $(x^{2}+5) > 0$ выполнено для всех $x$, поэтому основное ограничение: $x < 2$. При $x < 2$ имеем $2-x > 0$, и мы можем сократить $\log_{3}(2-x)$ с обеих сторон: $$\log_{3}(x^{2}+5) \geq \log_{3}(3-x) + \log_{3}(4-x)$$ $$\log_{3}(x^{2}+5) \geq \log_{3}((3-x)(4-x))$$ Так как логарифм — возрастающая функция: $$x^{2}+5 \geq (3-x)(4-x)$$ $$x^{2}+5 \geq x^{2}-7x+12$$ $$5 \geq -7x+12$$ $$7x \geq 7$$ $$x \geq 1$$ Объединяя с условием $x < 2$, получаем: $$1 \leq x < 2$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике