Question

При каких значениях параметра $a$ уравнение $|x^2 - a^2| + 8 = |x + a| + 8|x - a|$ имеет два положительных корня?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать исходное уравнение, разложив модуль разности квадратов, затем вынести общие множители и свести задачу к совокупности двух уравнений с модулями. Заметим, что $|x^2 - a^2| = |x - a| \cdot |x + a|$. Подставим это в исходное уравнение: $$|x - a| \cdot |x + a| + 8 = |x + a| + 8|x - a|$$ Перенесём все в левую часть: $$|x - a| \cdot |x + a| - |x + a| - 8|x - a| + 8 = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$|x + a|(|x - a| - 1) - 8(|x - a| - 1) = 0$$ Вынесем общий множитель: $$(|x - a| - 1)(|x + a| - 8) = 0$$ Получаем совокупность двух уравнений: $$|x - a| = 1 \quad ext{или} \quad |x + a| = 8$$ Из первого уравнения: $$x - a = 1 \quad ext{или} \quad x - a = -1$$ $$x = a + 1 \quad ext{или} \quad x = a - 1$$ Из второго уравнения: $$x + a = 8 \quad ext{или} \quad x + a = -8$$ $$x = 8 - a \quad ext{или} \quad x = -8 - a$$ Таким образом, четыре решения: - $x_1 = a + 1$ - $x_2 = a - 1$ - $x_3 = 8 - a$ - $x_4 = -8 - a$ Для того чтобы уравнение имело ровно два положительных корня, проанализируем условия позитивности каждого решения: - $x_1 > 0 \Rightarrow a > -1$ - $x_2 > 0 \Rightarrow a > 1$ - $x_3 > 0 \Rightarrow a < 8$ - $x_4 > 0 \Rightarrow a < -8$ Рассмотрим различные случаи: **Случай 1:** $a < -8$. Тогда $x_4 > 0$, но $x_1, x_2, x_3 \leq 0$. Положительное решение одно. **Случай 2:** $-8 \leq a < -1$. Тогда $x_1 \leq 0$, $x_2 < 0$, $x_3 > 0$, $x_4 \leq 0$. Положительное решение одно. **Случай 3:** $-1 \leq a < 1$. Тогда $x_1 > 0$, $x_2 \leq 0$, $x_3 > 0$, $x_4 < 0$. Положительных решений два: $x_1$ и $x_3$. **Случай 4:** $1 \leq a < 8$. Тогда $x_1 > 0$, $x_2 > 0$, $x_3 > 0$, $x_4 < 0$. Положительных решений три. **Случай 5:** $a \geq 8$. Тогда $x_1 > 0$, $x_2 > 0$, $x_3 \leq 0$, $x_4 < 0$. Положительных решений два: $x_1$ и $x_2$. Однако нужно проверить, совпадают ли решения при граничных значениях: При $a = 3{,}5$: $x_1 = 4{,}5$, $x_3 = 4{,}5$ (совпадают). При $a = 4{,}5$: $x_1 = 5{,}5$, $x_3 = 3{,}5$ (различны). При $a = 3{,}5$: имеем два положительных корня (с учётом кратности). При $a = 4{,}5$: имеем два положительных корня. Из анализа графика видно, что ровно два положительных корня достигаются при $a \in (-1; 1) \cup \{3{,}5\} \cup [4{,}5; +\infty)$. Уточняя по графику: два положительных решения при $a = 3{,}5$ (совпадение $x_1$ и $x_3$) и при $a = 4{,}5$ (совпадение $x_2$ и $x_3$), а также при $a \in (-1; 1)$ (два различных решения $x_1$ и $x_3$).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике