Question

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил либо 5 писем, либо 16 писем, причём юношей, выбравших каждый из этих вариантов, было не менее двух. Возможно, что один юноша отправил одной девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: обозначить количество юношей, отправивших 5 и 16 писем, составить уравнение для общего числа писем и проанализировать его делимость на число девушек.

Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших 5 писем, и через $y$ количество юношей, отправивших 16 писем. Тогда число девушек равно $x + y$, а общее количество отправленных писем составляет $5x + 16y$.

**а) Проверим, может ли каждая девушка получить ровно 7 писем.**

Составим уравнение:

$$5x + 16y = 7(x + y)$$

$$5x + 16y = 7x + 7y$$

$$9y = 2x$$

$$x = \frac{9y}{2}$$

При $y = 2$ получаем $x = 9$. Оба значения удовлетворяют условию (не менее двух юношей в каждой группе).

Проверка: $9 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 45 + 32 = 77$ писем, $9 + 2 = 11$ девушек, $77 : 11 = 7$ писем на девушку.

Ответ на пункт а): да, могло.

**б) Найдём наименьшее количество девушек при условии, что все получили поровну.**

Пусть каждая девушка получила $n$ писем. Тогда:

$$5x + 16y = n(x + y)$$

$$(16 - n)y = (n - 5)x$$

Для того чтобы $x$ и $y$ были положительными целыми числами, необходимо, чтобы $x$ делился на $16 - n$, а $y$ делился на $n - 5$. При минимальных положительных значениях:

$$x = 16 - n, \quad y = n - 5$$

Число девушек:

$$x + y = (16 - n) + (n - 5) = 11$$

Проверим, что условие на минимум юношей выполнено: $x = 16 - n \geq 2$ и $y = n - 5 \geq 2$, откуда $7 \leq n \leq 14$. При любом $n$ из этого диапазона получаем 11 девушек.

Ответ на пункт б): 11.

**в) Найдём максимальное количество девушек при попарно различных количествах писем.**

Пусть $z$ — число девушек. Если все получили различное количество писем, начиная с 0 и увеличиваясь на 1, то минимальное общее число писем:

$$0 + 1 + 2 + \ldots + (z - 1) = \frac{z(z - 1)}{2}$$

Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших 5 писем. Тогда $z - x$ юношей отправили 16 писем. Общее число писем:

$$5x + 16(z - x) = 16z - 11x$$

Необходимо:

$$16z - 11x \geq \frac{z(z - 1)}{2}$$

При $x \geq 2$ (минимум юношей первого типа):

$$16z - 22 \geq \frac{z(z - 1)}{2}$$

$$32z - 44 \geq z^2 - z$$

$$z^2 - 33z + 44 \leq 0$$

Корни: $z = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 176}}{2} = \frac{33 \pm \sqrt{913}}{2} \approx \frac{33 \pm 30{,}2}{2}$.

Получаем $z < 33$.

Проверим $z = 32$: $11x \leq 16 \cdot 32 - \frac{32 \cdot 31}{2} = 512 - 496 = 16$, откуда $x \leq 1$. Это противоречит условию $x \geq 2$.

Проверим $z = 31$: $11x \leq 16 \cdot 31 - \frac{31 \cdot 30}{2} = 496 - 465 = 31$, откуда $x \leq 2{,}8$. При $x = 2$ условие выполнено.

Общее число писем: $5 \cdot 2 + 16 \cdot 29 = 10 + 464 = 474$.

Ответ на пункт в): 31.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике